Modelo de simulación para el control del mosquito Aedes aegypti,
transmisor del dengue y la fiebre amarilla, por el crustáceo Mesocyclops spp :

RESUMEN:

OBJETIVOS: Se presenta un modelo de simulación que muestra la dinámica de depredación de Mesocyclops spp., sobre Aedes aegypti.

MÉTODOS: Representado por cuatro ecuaciones diferenciales: H'(t), cantidad de huevos; L'(t), cantidad de larvas; A'(t), cantidad de adultos y C'(t), cantidad de copépodos. Inicialmente las ecuaciones son del tipo clásico presa-depredador, según Lotka y Volterra. Posteriormente se modifica en un sistema con respuesta funcional para invertebrados, según Holling.

RESULTADOS: El primer sistema controla y estabiliza la población de mosquitos, el segundo muestra que los copepodos son inefectivos como controladores.

CONCLUSIONES: Se reconoce la necesidad de estudiar sistemas presa depredador (mosquitos - copepodos) con trabajos que integren pruebas de laboratorio y de campo. Solo así será posible establecer la validez en el uso de estos últimos como controladores biológicos efectivos de mosquitos.

Introducción:
Cerca de dos tercios de la población mundial se encuentra en regiones que también corresponden al área de distribución de los vectores transmisores del dengue Aedes aegypti y Aedes albopictus . Estos insectos han ocasionado emergencias sanitarias en muchos países, conociéndose como una de las principales fuentes de arbovirosis de importancia epidemiológica.
Cada año millones de personas contraen la infección provocada por el virus del dengue en países de África, Asia, Islas del Pacífico y las Américas . Esta enfermedad se ha propagado debido al crecimiento demográfico, la urbanización, deficiencias de saneamiento ambiental, insuficiencia del abastecimiento de agua, manejo de desechos inapropiado, aumento exponencial en el número de envases plásticos y otros recipientes capaces de brindar las condiciones adecuadas para reproducción de este mosquito (neumáticos, envases desechables, etc). Otro factor que ha permitido la propagación del virus es la falta de conocimiento de la población del problema del dengue .
A escala mundial se han hecho intentos para erradicar el vector A. aegypti con buenos resultados. Sin embargo, después de algún tiempo, resurge como el caso de Panamá, Costa Rica, Guatemala, Honduras, Cuba, Venezuela y otros países de Sudamérica .
Debido al resurgimiento del vector y la enfermedad, se han implementado diferentes métodos de control además de los convencionales. Uno de estos utiliza copépodos que han demostrado efectividad sobre el control de mosquitos, especialmente en laboratorio.
El uso de copépodos fue implementado después que Fryer encontró que algunas especies de copépodos depredando de larvas de mosquitos. Surgieron así, diferentes trabajos evaluando esta hipótesis, "eficacia de copépodos como un posible método de control". Otros, como Suárez l. observaron a Mesocyclops aspericornis, depredando larvas de A. aegypti, así mismo, Kay y Suarez evaluaron la efectividad de Mesocyclops sp.,como controlador de larvas de mosquitos.
Marten reconoce varias especies de copépodos que pueden ser usadas para el control biológico de mosquitos como; Macrocyclops albidus, Mesocyclops longisetus, Mesocyclops thermocyclopoides, entre otros. Santos utilizo copépodos para control de A. albopictus con M. longisetus con porcentajes de efectividad hasta del 98,1%, Nam muestra ampliamente la eficacia de Mesocyclops,en el control de larvas de mosquitos incorporando participación de la comunidad afectada.
Sin embargo, no es del todo claro que la dinámica de este control pueda llegar a ser un método efectivo, esto debido a que se ha evidenciado que copépodos y mosquitos cohabitan naturalmente. Además, es pobre el conocimiento que envuelve la relación presa-depredador de estos dos grupos involucrados.
Aunque no hay modelos matemáticos que representen control biológico con copépodos se encuentran algunos, como el de Ritchie & Montague que muestran un modelo de simulación para Aedes taeniorhynchus controlado por un pez predador. Otros trabajos modelan la dinámica de A. aegypti y sus criaderos con submodelos relacionados para predecir con parámetros ambientales, posibles brotes de esta población.
El objetivo del trabajo es mostrar la acción de depredadores como Mesocyclops spp., sobre los estados inmaduros de A. aegypti. Esta relación se representa mediante un modelo de simulación con el interés de entender aspectos importantes que puedan aportar al control de esta plaga.


METODOLOGÍA:
Para el diseño del modelo, se estudió la interacción entre A. aegypti y Mesocyclops spp., representado con seis ecuaciones diferenciales que describen la dinámica. El modelo considera tres estados del desarrollo de A. aegypti: huevo, larva y adulto. Los cuatro instares larvarios son resumidos en una variable y no alteran los resultados. El estado de pupa no es depredado, por tanto no está como una variable en las ecuaciones. También se modela sólo el estado adulto de los copépodos, como se especifica en las ecuaciones, pues estos solo depredan el estado larval de A. aegypti.
Las variables y parámetros que componen el modelo están descritos en las ecuaciones (e.1, e.2, e.3, e.4, e.5 y e.6), H(t): Cantidad de huevos de A. aegypti que varia en el tiempo (t), L(t): Cantidad de larvas de A. aegypti que varia en el tiempo (t), A(t): Cantidad de adultos de A. aegypti que varía en el tiempo (t), y C(t): Cantidad de copépodos Mesocyclops, que varía en el tiempo (t).
Los parámetros son: (b) tasa de oviposición de A. aegypti, (mH) tasa de inviabilidad natural de huevos de la población de A. aegypti, (g)tasa de transformación de huevos a larvas de A. aegypti, (mL) tasa de mortalidad natural de la población de las larvas de A. aegypti, (d) tasa de transformación de las larvas a adulto (a) tasa de depredación de A. aegypti por Mesocyclops, (mA) tasa de mortalidad natural de la población de adultos de A. aegypti, (e) tasa de incremento de Mesocyclops, por depredación de A. aegypti, (m) constante media de saturación. (k) tasa captura, (mC) tasa de mortalidad natural de Mesocyclops.
La simulación del modelo se realizó con Matlab 5.3 utilizando valores hipotéticos tomados de las tablas de vida de Bar-Zeev , Costero , Nam , Santos , Torres-Estrada y Gorrochotegui . Estos datos se modificaron buscando mayor aproximación a datos naturales, ya que los resultados de estos trabajos varían de acuerdo a las condiciones de campo y laboratorio.(tabla 1).

RESULTADOS Y DISCUSIÓN:
De acuerdo a la dinámica de la biología, se construyó el siguiente modelo para el control de A. aegypti por Mesocyclops spp., que contiene las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden:

La ecuación e.1 representa la dinámica vital de los huevos del mosquito la cual depende de la oviposición de los adultos, tasa de inviabilidad y el paso al estado L (t).

En la ecuación e.2 tenemos resumidos los estados larvarios del mosquito en una sola variable L (t). Se observa en esta ecuación la función que representa el control del predador aC(t)L(T), en la cual las presas son liquidadas de forma lineal.
Luego cambiamos aC(t)L(T) por la función de Holling , dando como resultado :

es decir que la ecuación final es:

En esta ecuación e.3 se incluyen los parámetros como K y m que regulan la densidad de la presa asumiendo que los copépodos pueden tener un limite de captura, diferente de la forma planteada en la ecuación e.2.
La ecuación de los mosquitos adultos:

La ecuación e.4 muestra la dinámica de los mosquitos adultos cuyo incremento es regulado por el paso de L(t) a A(t) menos la mortalidad natural de los adultos.

Ecuación e.5 representa el depredador y de esta ecuación sustituimos eC(t)L(T) y queda:

De esta manera los copépodos, además de ser dependientes de L(t), también tienen una disminución en el ataque, lo cual se ajusta más a la realidad.
El presente modelo intenta describir la dinámica de control de A. aegypti por la acción depredadora de Mesocyclops spp., resultando un sistema de ecuaciones diferenciales inicialmente similares al clásico modelo Lotka y Volterra ampliamente utilizado en sistemas presa-depredador. Posteriormente se adiciona la función de respuesta funcional tipo II de Holling para modelar la respuesta de mortalidad depredadores y presas.
En la simulación sistema de ecuaciones presa-depredador inicial, se aprecia cómo el controlador biológico aumenta y disminuye al igual que su presa, estabilizando el sistema con las poblaciones a valores próximos a cero. Esto quiere decir que cuando se utiliza una tasa de depredación baja se expresa con un incremento inicial del copépodo mucho menor que utilizando una tasa más alta (Figura 1). Lo importante de esta figura es que este parámetro no influencia la estabilidad del sistema. Esto inicialmente refuerza la teoría que los copépodos son controladores eficaces de mosquitos, más adelante veremos que realmente puede que no sea como se piensa.

Ahora simplemente para mostrar que el modelo representa el sistema de control biológico comparamos los resultados de la Figura 1 en la cual se incluye una tasa de depredación (a =0.2) igual al de la Figura 2, este valor debido a que previamente percibimos que cambios de este parámetro no afectan en el control por copépodos. Entonces, sólo variamos la cantidad de copépodos C=30. Así en los valores simulados de la Figura 3 simplemente colocamos, C=0, o sea sin copépodos y el resultado aclara la consistencia del modelo; si no hay una presencia del predador el sistema entra en desequilibrio, presentando un crecimiento positivo de la presa (Figura 3).

Desde el punto de vista del modelo planteado inicialmente, parece que la función del copépodo como controlador de poblaciones de mosquitos es óptima, este al ser representado como un sistema clásico presa-depredador Lotka y Volterra. Analicemos cuando incorporamos la respuesta funcional de tipo II de Holling (Figura 3). En los primeros momentos se observa una tendencia a disminuir, después la población de depredadores y presas crecen igualmente, o sea que adicionando esta función el copépodo no se manifiesta como un buen controlador. Simplemente el sistema se torna inestable positivo. Según Smith & Saltkin , cualquier modificación a sistemas presa depredador podría tornarlos inestables, como es mostrado en los resultados de este modelo.
El comportamiento de la presa y el depredador en un "plano de face"cuando es mirado el comportamiento de variables con respecto así mismas, muestran los copépodos y las larvas creciendo paralelamente (Figura 4). El plano de fase, sin la función de Holling, se espera que el comportamiento del sistema sea representado como un "punto atractor" decreciente, esto quiere decir que cualquiera que sean las condiciones iniciales de un sistema siempre tienden a converger atraídas al mismo lugar, y el sistema es estable.

Una mejor explicación basada en aspectos observados en campo y laboratorio puede ayudar, junto al modelo, a comprender esta dinámica. Como se planteó atrás, se comienza modelando con un sistema clásico presa-depredador que se ajusta a la hipótesis de control efectivo de Mesocyclops sobre larvas de mosquitos en laboratorio.
Es claro que en laboratorio las condiciones son diferentes a las naturales y ayudan a que los resultados sean promisorios. Es bueno resaltar que si el depredador no tiene otra opción de alimento diferente a larvas de mosquitos, la cantidad de consumo será elevada y hará que el depredador sea totalmente dependiente para subsistir. Así, este tipo de experimentos con cantidad de presas y depredadores controlados, fuente de alimento exclusiva (larvas de mosquitos) y ausencia de competencia específica, son fácilmente interpretados con modelos Lotka y Volterra clásicos, ya debatidos durante años debido a la falta de realidad en condiciones naturales.
Ya intentando entender el fenómeno de una manera más real, tomando en cuenta resultados de trabajos en campo, vemos que se encuentran también tasas de mortalidades altas. Sin embargo, no dejan claro a través del tiempo como reaccionan los depredadores en periodos de tiempo más largos, donde eventualmente puedan entrar en competencia específica e ínter específica por recurso, esto sabiendo de antemano que en un cuerpo de agua con condiciones para cría de mosquitos existen otros organismos.
Si incluimos cierta cantidad de depredadores en un área, con seguridad en los primeros momentos de contacto entre ellos, los resultados pueden llevar a determinar altas efectividades y después dependiendo la densidad de las presas y el enriquecimiento del agua, pueden alterar drásticamente estos ataques, siendo no tan efectivo a largo plazo. Esto es evidente en la Figura 4.
Según, Micieli , se aprecia que adicionando una fuente de alimento extra, disminuye el ataque, mostrando que no hay diferencias significativas entre el control y el tratamiento. También las densidades de copépodos pueden influenciar las tasas de depredación. Más aún, se ha demostrado que las hembras grávidas de A. aegypti son atraídas a colocar huevos, "ovipositar" en lugares donde existen copépodos. ¿Cómo una especie coloca su descendencia en un lugar donde vive su enemigo natural? esto se explica por que las hembras son atraídas por lugares con cierta riqueza de materia orgánica, asegurando nutrientes para las larvas que emergen de los huevos, nutrientes como materia orgánica de la cual los copépodos se alimentan también, disminuyendo la acción de estos sobre las larvas . En realidad, esto solo muestra que los copépodos y las larvas de mosquitos pueden coexistir. Por esta razón el modelo se transformó incorporando la función que hace que los copépodos estén regulados, no exclusivamente por la presa, sino por otros factores que interactúan en la dinámica de una especie. Estos factores pueden ser interpretados por el parámetro m = Constante media de saturación.
(tabla 1)
Esto no quiere decir que los copépodos no tengan un rol importante en el control de mosquitos. Vemos que en Vietnam se tuvo éxito, pero es apropiado decir que fue con ayuda de la comunidad.Esto muestra que estos métodos, siendo utilizados sinérgicamente con otras estrategias pueden tener éxito.
De esta manera se intentó dar una explicación mediante dos formas de abordar el problema con el fin de mostrar como un modelo puede ayudar a aclarar mejor la factibilidad de un posible plan de control.
Este trabajo aborda una metodología relativamente sencilla de modelaje donde no se incluyen directamente parámetros relacionados con aspectos climatológicos y físicos como en trabajos de Focks et al. (15), Focks et al. (16), Focks et al. (17). Sin embargo, los resultados abren una hipótesis importante sobre si el control biológico por copépodos es realmente eficiente o hasta qué punto es eficiente. De cualquier modo es importante estudiar con mayor profundidad y verificar con un análisis matemático, la consistencia de estabilidad de este modelo.
Finalmente podemos decir que es importante incorporar al modelo otros parámetros que refuercen la acción de control de esta plaga como control químico, cultural y ambiental.

Es posible que se obtengan datos poco reales modelando estos fenómenos como sistemas clásicos presa-depredador y sus resultados no se ajusten a la biología de estas especies, debido a esto se incluyó la respuesta funcional y se precisa que nuevos modelos se puedan validar con datos reales que posibiliten comparar su validez con datos de campo.

REFERENCIAS:
1. Pinheiro FP. Dengue in the americas, 1980-1987. Epidemiol. Bull. PAHO. 1989; 10: 1-8.
2. Gubler DJ. Dengue and hemorrhagic fever. Clin Microbiol Rev. 1998; 11: 480-496.
3. Chiaravalloti NF. Descrição da colonização de Aedes aegypti na região de São José Do Rio Preto, São Pulo. Rev. Soc. Bras. Med. 1997; 30: 279-275.
4. DE Freitas LM, Camillo - Coura L, Grault CE & Barros DV. Estudo do dengue em área urbana favelizada do Rio de Janeiro: considerações iniciais. Cad. Saúde Púbica, Rio de Janeiro. 2000; 16: 851-856.
5. OPS. El dengue y la fiebre amarilla en las Américas: una visión general del problema. Bol. Epidemiol. 1992; 13: 9-11.
6. OPS. El dengue en Centro America: las epidemias del 2000. Bol. Epidemiol. 2000; 21: 4-8.
7. Fryer G. The food of some freshwater Cyclopoid copepod and its ecological significance. J. Anim. Ecol. 1957; 26: 263-281.
8. Suarez M F, Ayala D, Nelson MJ & Reid JW. Hallazgo de Mesocyclops aspericornis (Daday) (Copepoda:Cyclopidae) depredador de larvas de Aedes aegypti en Anapoima-Colombia. Biomédica. 1984; 4: 74-76.
9. Kay BH, Cabral CP Sligh, AC, Brown MD, Ribeiro ZM & Vasconcelos W. Laboratory evaluation of Brazilian Mesocyclops for mosquito control. J. Med. Entomol. 1992; 29: 599-602.
10. Marten C, Thonson M, Nguyen M & Bordes ES. Copepodo production and application for mosquito control. New Orleans mosquito control board, New Orleans. 1997; 42p.
11. Santos LU, Andrade CFS & Carvalho G. Biological control of Aedes albopictus (Diptera: culicidae) larvae in trap tyres by Mesocyclops longisetus (copepoda: cyclopoidae) in two field trials. Mem. Inst. Oswaldo. Cruz. 1996; 91: 61-162.
12. Nam VS, Yen NT, Holynska M, Reid JW & Kay BH. National progress in dengue vector control in Vietnam: survey for MESOCYCLOPS (Copepoda) MICRONECTA (Corixidae), and fish as biological control agents. Am. J. Trop. Med. Hyg. 2000; 62: 5-10.
13. Torres-Estrada JL, Rodríguez MH, Cruz-López L & Arredondo-Jimenez JI. Selective oviposition by Aedes aegypti (Diptera:Culicidae) in response to Mesocyclops longisetus (Copepoda: Cyclopoidea) under laboratory and field conditions. J. Med. Entomol. 2001; 38: 188-192.
14. Ritchie SA & Montague CL. Simulated populations of the black salt marsh mosquito (Aedes taeniorhynchus) in a florida mangrove forest. Ecol. Model. 1995; 77: 123-141.

Control

Tenemos:



Se desea un sitema que tenga un OS=20%
num=[0 1];

den=conv([1 1],conv([1 2],[1 3]));

sys=tf(num,den)
Transfer function:
1
----------------------
s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6

» rltool


Sabemos por teoría que, para un sistema de segundo orden:


Despejando el coeficiente de amortiguamiento ζ en función del O.S.

Queremos un O.S. de 0.2 (es decir 20%), si reemplazamos en la fórmula obtenemos:

Viendo la respuesta ante una entrada escalon:

En Simulink

CONTROLADOR PID

CONTROLADOR PID

Para mejorar del error estable y la respuesta transitoria Primero mejoramos la respuesta transitoria mediante el uso de métodos de la sección compensador derivativo y enseguida mejoramos el error en estado estable e este sistema compensado al aplicar los métodos del compensador integral. Una desventaja de este método es la ligera disminución en la velocidad de la respuesta cuando se mejora el error en estado estable. Si diseñamos un controlador PD activo seguido de un controlador PI activo, el compensador resultante se llama controlador proporcional más Integral más Derivativo (PID). Si primero diseñamos un compensador pasivo de adelanto de fase y luego diseñamos un compensador pasivo de atraso de fase, el compensador resultante se llama compensador de adelanto – atraso de fase. 1.- ESTRUCTURA DE UN PID En la figura se ilustra un controlador PID. Su función de transferencia es Gc(s)=k1+ k2/ s + k3s= k3 ( s2 + ( k1/k3 ) s + ( k2/k3 ) ) /s Que tiene dos ceros más que un polo en el origen . Un cero y polo en el origen se pueden diseñar como el compensador integral ideal; el otro cero se puede diseñar como el compensador derivativo ideal.

la técnica de diseño, que se muestra:

1.-evaluación del desempeño del sistema no compensado para determinar cuánta mejoría se necesita en respuesta transitoria.
2.- Diseño del controlador PD para satisfacer las especificaciones de respueta transitoria.
3.-simulación del sistema para estar seguros que todos los requermientos no se han satisfecho.
4.-Rediseño si la simulación demuestra que los requerimientos no se han satisfecho.
5.-diseño del controlador PI para obtener el error necesario en estado estable.
6.- Determinación de las ganancias , k1,k2,k3
7.-simulación del sistema para estar seguros que todos los requerimientos se hayan satisfecho.
8.- rediseño si la simulación demuestra que los requerimientos no se han satisfecho

2.-Métodos clásicos de ajustes de ziegler and nicholds

En esta sección veremos dos métodos de ajuste de las ganancias de un controlador PID, el Método de Oscilación o Método de Respuesta en Frecuencia y el Método Basado en la Curva Reacción o Método de Respuesta al Escalón. El primero se basa en un lazo de control sólo con ganancia proporcional y de acuerdo a la ganancia utilizada para que el sistema empiece a oscilar y al periodo de esas oscilaciones, podemos establecer las ganancias del controlador PID. El otro método se resume en ensayar al sistema a lazo abierto con un escalón unitario, se calculan algunos parámetros, como la máxima pendiente de la curva y el retardo, y con ellos establecemos las ganancias del controlador PID. Estos métodos fueron propuestos por Ziegler y Nichols (Z-N) en 1942, quienes se basaron en la práctica para desarrollarlos.

2.1.- Método de oscilación

este procedimiento es válido solo para plantas estables a lazo abierto y se lleva a cabo siguiendo los siguientes pasos:
1. Utilizando sólo control proporcional, comenzando con un valor de ganancia pequeño, incrementar la ganancia hasta que el lazo comience a oscilar. Notar que se requieren oscilaciones lineales y que éstas deben ser observadas en la salida del controlador.
2. Registrar la ganancia crítica del controlador Kp = Kc y el periodo de oscilación de la salida del controlador, Pc. (en el diagrama de Nyquist, corresponde a que KcG( jw) cruza el punto (-1, 0) cuando Kp = Kc).3. Ajustar los parámetros del controlador según la Tabla Dicha tabla fue obtenida por Ziegler y Nichols quienes buscaban una respuesta al escalón de bajo amortiguamiento para plantas que puedan describirse satisfactoriamente por un modelo de la forma:

Considerar el modelo de una planta dado por:

De esta forma la función de transferencia a lazo abierto resulta:


Implementando dicho sistema en SIMULINK, con una entrada escalón unitario aplicada en el instante t = 0 y una perturbación de entrada escalón unitario en el instante t = 10,
Obtenemos la Figura 4
Como se puede apreciar en el gráfico, el control hallado provoca un sobrevalor significativo, lo que es inaceptable en algunos casos. Sin embargo el método de Z-N nos ha proporcionado un punto de partida para una sintonía más fina. En este caso, si utilizamos el valor Td = 1 el desempeño mejora. Sin embargo, el incremento de acción derivativa puede traer inconvenientes si estuviéramos en presencia de un ruido significativo en el sistema, y es recomendable verificar que el aumento de acción derivativa no amplifique ruido excesivamente.

Muchas plantas, pueden ser descriptas satisfactoriamente por el modelo:

Una versión cuantitativa lineal de este modelo puede ser obtenida mediante un experimento a lazo abierto, utilizando el siguiente procedimiento:
1. Con la planta a lazo abierto, llevar a la planta a un punto de operación normal. Digamos que la salida de la planta se estabiliza en y(t) = y0 para una entrada constante u(t) = u0.
2. En el instante inicial t0, aplicar un cambio en la entrada escalón, desde u0 a u1 (esto debería ser en un rango de 10 al 20% de rango completo).
3. Registrar la salida hasta que se estabilice en el nuevo punto de operación. Supongamos que la curva que se obtiene es la que se muestra en la Figura 5. Esta curva se llama curva de reacción del proceso.
Calcular los parámetros del modelo de la siguiente forma:

El modelo obtenido puede ser utilizado para varios métodos de ajuste de controladores PID. Uno de estos también fue propuesto por Ziegler y Nichols. El objetivo de diseño es alcanzar un amortiguamiento tal que exista una relación de 4:1 para el primer y segundo pico de la respuesta a una referencia escalón. Los parámetros sugeridos por Z-N son los que se muestran en la Tabla.

4.- modificaciones de los esquemas de control PId.

En los sistemas de control básicos vistos hasta ahora, si la entrada de referencia es un escalón, debido a la presencia del término derivativo en la acción de control, la variable manipulada u(t) contendrá una función impulso (una delta). En un controlador PID real, en lugar del térrmino derivativo TDs emplearemos:

dondeTd denominada constante de tiempo derivativa, normalmente es elegida tal que 0.1 ≤זּD ≤ 0.2. Cuanto más pequeña es זּD, mejor es la aproximación entre el término”derivativo filtrado” de la Ecuación y el ”derivativo” Tds, es decir son iguales en el limite:

Con la inclusión de un polo evitamos utilizar acciones de control grandes en respuesta a errores de control de alta frecuencia, tales como errores inducidos por cambios de setpoint (referencia) o mediciones de ruido. El argumento clásico por el cual se elige זּD 6= 0 es, además de asegurar un controlador propio, para atenuar ruido de alta frecuencia. Casi todos los controladores industriales PID definen a זּD como una fracción fija de Td, en lugar de tomarlo como un parámetro independiente de diseño. Analicemos nuevamente el Ejemplo 1, pero tomando ahora como función transferencia del controlador PID a:

Por lo que la función transferencia a lazo abierta resulta ser la siguiente:

Con el mismo desarrollo anteriormente explicado obtenemos los mismos parámetros del PID aplicando el método de oscilación de Z-N. Tomando a זּD = 0.1 y Td = 0.045, la función transferencia a lazo abierto resulta

4.-Asignación de polos

La asignación de polos es un método de diseño de controladores cuando queremos que el desempeño del sistema a lazo cerrado cumpla con determinadas especificaciones de diseño. En esta sección veremos en detalle de que se trata y veremos también como podemos ajustar un controlador PID utilizando asignación de polos.

Con P(s), L(s), B0(s) y A0(s) polinomios de grados np, nl , n _ 1 y n respectivamente (asumimos que el modelo nominal de la planta es estrictamente propio).Consideremos que el polinomio a lazo cerrado deseado está dado por Alc. La pregunta que surge es: ¿Dado un Alc arbitrario, existiría una función C(s) propia tal que a lazo cerrado resulte que Alc sea el polinomio característico?
Para contestar esta pregunta, veamos primero que pasa con un ejemplo para ilustrar mejor la idea:

Ejemplo 2 (Asignación de polos). Sea el modelo nominal de una planta dada y un controlador de la forma:

Podemos ver que Alc = A0(s)L(s) + B0(s)P(s) = (s2 + 3s + 2)(l1s + l0) + (p1s + p0). Si igualamos los coeficientes obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

Podemos verificar que la matriz anterior es no-singular, por lo que el sistema tendrá solución ´ única: l1 = 1, l0 = 0, p1 = 1 y p0 = 1. Así el polinomio característico es alcanzado para un controlador dado por la siguiente función transferencia:

En el ejemplo anterior vimos como la asignación de polos a lazo cerrado depende de la no-singularidad de una matriz particular. Como la idea es generalizar el resultado anterior, primero necesitaremos algunos resultados matemáticos.

5.- RESUMEN

Desde una perspectiva moderna, un controlador PID es simplemente un controlador de hasta segundo orden, conteniendo un integrador.


Descubrimientos empíricos demuestran que la estructura del PID por lo general tiene la suficiente flexibilidad como para alcanzar excelentes resultados en muchas aplicaciones. El término básico es el término proporcional, P, que genera una actuación de control correctivo proporcional al error.


El término integral, I, genera una corrección proporcional a la integral del error. Esto nos asegura que si aplicamos un esfuerzo de control suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero.


El término derivativo, D, genera una acción de control proporcional al cambio de rango del error. Esto tiende a tener un efecto estabilizante pero por lo general genera actuaciones de control grandes.

Laboratorio Sistemas de Control

Archivo del Laboratorio de Sistemas de Control.

LABORATORIO SISTEMAS DE CONTROL

TRABAJO DE SISTEMAS DE CONTROL

COMPENSADORES

COMPENSADORES USANDO LGR

Los compensadores diseñados por el método del Lugar Geométrico de las Raíces permiten corregir la respuesta transitoria de un sistema, variando los parámetros temporales (Tr, Ts, Td, Tp y Mp) que dependen directamente de los valores del Factor de Amortiguamiento y la Frecuencia Natural obtenidos gráficamente en el Plano “S”

Las Especificaciones de Diseño están dadas por los Parámetros Temporales de la Respuesta Transitoria del Sistema
Ejemplo :
Se desea Modelar un Compensador Gc(s) de tal manera que la respuesta Transitoria al Escalón Unitario del Sistema Compensado tenga un Sobreimpulso del 5% y el tiempo de asentamiento al 2% sea de 2 segundos; La función de Transferencia de la Planta G(s) es:

Condiciones de Diseño

• Relación entre el Sobreimpulso y el factor de Amortiguamiento:

%Maximo Sobreimpulso: mp

mp=exp(-e*(pi/sqrt(1-e^2)))

%Factor de Amortiguamiento: e

e=-(log(mp)/sqrt(pi^2+log(mp)^2)

• Relación del Tiempo de Establecimiento con el factor de Amortiguamiento y la Frecuencia Natural:

%tiempo de %asentamiento 2%: ts2

ts2=4/(e*wn)

· %Frecuencia Natural Wn

Wn=4/(ts2*e)

• Por lo Tanto; para la condiciones de diseño se tiene:

gnf