CONTROLADOR PID
la técnica de diseño, que se muestra:
1.-evaluación del desempeño del sistema no compensado para determinar cuánta mejoría se necesita en respuesta transitoria.
2.- Diseño del controlador PD para satisfacer las especificaciones de respueta transitoria.
3.-simulación del sistema para estar seguros que todos los requermientos no se han satisfecho.
4.-Rediseño si la simulación demuestra que los requerimientos no se han satisfecho.
5.-diseño del controlador PI para obtener el error necesario en estado estable.
6.- Determinación de las ganancias , k1,k2,k3
7.-simulación del sistema para estar seguros que todos los requerimientos se hayan satisfecho.
8.- rediseño si la simulación demuestra que los requerimientos no se han satisfecho
2.-Métodos clásicos de ajustes de ziegler and nicholds
En esta sección veremos dos métodos de ajuste de las ganancias de un controlador PID, el Método de Oscilación o Método de Respuesta en Frecuencia y el Método Basado en la Curva Reacción o Método de Respuesta al Escalón. El primero se basa en un lazo de control sólo con ganancia proporcional y de acuerdo a la ganancia utilizada para que el sistema empiece a oscilar y al periodo de esas oscilaciones, podemos establecer las ganancias del controlador PID. El otro método se resume en ensayar al sistema a lazo abierto con un escalón unitario, se calculan algunos parámetros, como la máxima pendiente de la curva y el retardo, y con ellos establecemos las ganancias del controlador PID. Estos métodos fueron propuestos por Ziegler y Nichols (Z-N) en 1942, quienes se basaron en la práctica para desarrollarlos.
2.1.- Método de oscilación
este procedimiento es válido solo para plantas estables a lazo abierto y se lleva a cabo siguiendo los siguientes pasos:
1. Utilizando sólo control proporcional, comenzando con un valor de ganancia pequeño, incrementar la ganancia hasta que el lazo comience a oscilar. Notar que se requieren oscilaciones lineales y que éstas deben ser observadas en la salida del controlador.
2. Registrar la ganancia crítica del controlador Kp = Kc y el periodo de oscilación de la salida del controlador, Pc. (en el diagrama de Nyquist, corresponde a que KcG( jw) cruza el punto (-1, 0) cuando Kp = Kc).3. Ajustar los parámetros del controlador según la Tabla
Dicha tabla fue obtenida por Ziegler y Nichols quienes buscaban una respuesta al escalón de bajo amortiguamiento para plantas que puedan describirse satisfactoriamente por un modelo de la forma:
De esta forma la función de transferencia a lazo abierto resulta:
Implementando dicho sistema en SIMULINK, con una entrada escalón unitario aplicada en el instante t = 0 y una perturbación de entrada escalón unitario en el instante t = 10,
Obtenemos la Figura 4
Como se puede apreciar en el gráfico, el control hallado provoca un sobrevalor significativo, lo que es inaceptable en algunos casos. Sin embargo el método de Z-N nos ha proporcionado un punto de partida para una sintonía más fina. En este caso, si utilizamos el valor Td = 1 el desempeño mejora. Sin embargo, el incremento de acción derivativa puede traer inconvenientes si estuviéramos en presencia de un ruido significativo en el sistema, y es recomendable verificar que el aumento de acción derivativa no amplifique ruido excesivamente.
4.- modificaciones de los esquemas de control PId.
En los sistemas de control básicos vistos hasta ahora, si la entrada de referencia es un escalón, debido a la presencia del término derivativo en la acción de control, la variable manipulada u(t) contendrá una función impulso (una delta). En un controlador PID real, en lugar del térrmino derivativo TDs emplearemos:
Para mejorar del error estable y la respuesta transitoria Primero mejoramos la respuesta transitoria mediante el uso de métodos de la sección compensador derivativo y enseguida mejoramos el error en estado estable e este sistema compensado al aplicar los métodos del compensador integral. Una desventaja de este método es la ligera disminución en la velocidad de la respuesta cuando se mejora el error en estado estable. Si diseñamos un controlador PD activo seguido de un controlador PI activo, el compensador resultante se llama controlador proporcional más Integral más Derivativo (PID). Si primero diseñamos un compensador pasivo de adelanto de fase y luego diseñamos un compensador pasivo de atraso de fase, el compensador resultante se llama compensador de adelanto – atraso de fase. 1.- ESTRUCTURA DE UN PID En la figura se ilustra un controlador PID. Su función de transferencia es Gc(s)=k1+ k2/ s + k3s= k3 ( s2 + ( k1/k3 ) s + ( k2/k3 ) ) /s Que tiene dos ceros más que un polo en el origen . Un cero y polo en el origen se pueden diseñar como el compensador integral ideal; el otro cero se puede diseñar como el compensador derivativo ideal.
la técnica de diseño, que se muestra:
1.-evaluación del desempeño del sistema no compensado para determinar cuánta mejoría se necesita en respuesta transitoria.
2.- Diseño del controlador PD para satisfacer las especificaciones de respueta transitoria.
3.-simulación del sistema para estar seguros que todos los requermientos no se han satisfecho.
4.-Rediseño si la simulación demuestra que los requerimientos no se han satisfecho.
5.-diseño del controlador PI para obtener el error necesario en estado estable.
6.- Determinación de las ganancias , k1,k2,k3
7.-simulación del sistema para estar seguros que todos los requerimientos se hayan satisfecho.
8.- rediseño si la simulación demuestra que los requerimientos no se han satisfecho
2.-Métodos clásicos de ajustes de ziegler and nicholds
En esta sección veremos dos métodos de ajuste de las ganancias de un controlador PID, el Método de Oscilación o Método de Respuesta en Frecuencia y el Método Basado en la Curva Reacción o Método de Respuesta al Escalón. El primero se basa en un lazo de control sólo con ganancia proporcional y de acuerdo a la ganancia utilizada para que el sistema empiece a oscilar y al periodo de esas oscilaciones, podemos establecer las ganancias del controlador PID. El otro método se resume en ensayar al sistema a lazo abierto con un escalón unitario, se calculan algunos parámetros, como la máxima pendiente de la curva y el retardo, y con ellos establecemos las ganancias del controlador PID. Estos métodos fueron propuestos por Ziegler y Nichols (Z-N) en 1942, quienes se basaron en la práctica para desarrollarlos.
2.1.- Método de oscilación
este procedimiento es válido solo para plantas estables a lazo abierto y se lleva a cabo siguiendo los siguientes pasos:1. Utilizando sólo control proporcional, comenzando con un valor de ganancia pequeño, incrementar la ganancia hasta que el lazo comience a oscilar. Notar que se requieren oscilaciones lineales y que éstas deben ser observadas en la salida del controlador.
2. Registrar la ganancia crítica del controlador Kp = Kc y el periodo de oscilación de la salida del controlador, Pc. (en el diagrama de Nyquist, corresponde a que KcG( jw) cruza el punto (-1, 0) cuando Kp = Kc).3. Ajustar los parámetros del controlador según la Tabla
Dicha tabla fue obtenida por Ziegler y Nichols quienes buscaban una respuesta al escalón de bajo amortiguamiento para plantas que puedan describirse satisfactoriamente por un modelo de la forma:Considerar el modelo de una planta dado por:
De esta forma la función de transferencia a lazo abierto resulta: Implementando dicho sistema en SIMULINK, con una entrada escalón unitario aplicada en el instante t = 0 y una perturbación de entrada escalón unitario en el instante t = 10,Obtenemos la Figura 4
Como se puede apreciar en el gráfico, el control hallado provoca un sobrevalor significativo, lo que es inaceptable en algunos casos. Sin embargo el método de Z-N nos ha proporcionado un punto de partida para una sintonía más fina. En este caso, si utilizamos el valor Td = 1 el desempeño mejora. Sin embargo, el incremento de acción derivativa puede traer inconvenientes si estuviéramos en presencia de un ruido significativo en el sistema, y es recomendable verificar que el aumento de acción derivativa no amplifique ruido excesivamente.
Muchas plantas, pueden ser descriptas satisfactoriamente por el modelo:
Una versión cuantitativa lineal de este modelo puede ser obtenida mediante un experimento a lazo abierto, utilizando el siguiente procedimiento:
1. Con la planta a lazo abierto, llevar a la planta a un punto de operación normal. Digamos que la salida de la planta se estabiliza en y(t) = y0 para una entrada constante u(t) = u0.
2. En el instante inicial t0, aplicar un cambio en la entrada escalón, desde u0 a u1 (esto debería ser en un rango de 10 al 20% de rango completo).
3. Registrar la salida hasta que se estabilice en el nuevo punto de operación. Supongamos que la curva que se obtiene es la que se muestra en la Figura 5. Esta curva se llama curva de reacción del proceso.
Calcular los parámetros del modelo de la siguiente forma:
1. Con la planta a lazo abierto, llevar a la planta a un punto de operación normal. Digamos que la salida de la planta se estabiliza en y(t) = y0 para una entrada constante u(t) = u0.
2. En el instante inicial t0, aplicar un cambio en la entrada escalón, desde u0 a u1 (esto debería ser en un rango de 10 al 20% de rango completo).
3. Registrar la salida hasta que se estabilice en el nuevo punto de operación. Supongamos que la curva que se obtiene es la que se muestra en la Figura 5. Esta curva se llama curva de reacción del proceso.
Calcular los parámetros del modelo de la siguiente forma:
El modelo obtenido puede ser utilizado para varios métodos de ajuste de controladores PID. Uno de estos también fue propuesto por Ziegler y Nichols. El objetivo de diseño es alcanzar un amortiguamiento tal que exista una relación de 4:1 para el primer y segundo pico de la respuesta a una referencia escalón. Los parámetros sugeridos por Z-N son los que se muestran en la Tabla.
4.- modificaciones de los esquemas de control PId.En los sistemas de control básicos vistos hasta ahora, si la entrada de referencia es un escalón, debido a la presencia del término derivativo en la acción de control, la variable manipulada u(t) contendrá una función impulso (una delta). En un controlador PID real, en lugar del térrmino derivativo TDs emplearemos:
dondeTd denominada constante de tiempo derivativa, normalmente es elegida tal que 0.1 ≤זּD ≤ 0.2. Cuanto más pequeña es זּD, mejor es la aproximación entre el término”derivativo filtrado” de la Ecuación y el ”derivativo” Tds, es decir son iguales en el limite:
Con la inclusión de un polo evitamos utilizar acciones de control grandes en respuesta a errores de control de alta frecuencia, tales como errores inducidos por cambios de setpoint (referencia) o mediciones de ruido. El argumento clásico por el cual se elige זּD 6= 0 es, además de asegurar un controlador propio, para atenuar ruido de alta frecuencia. Casi todos los controladores industriales PID definen a זּD como una fracción fija de Td, en lugar de tomarlo como un parámetro independiente de diseño. Analicemos nuevamente el Ejemplo 1, pero tomando ahora como función transferencia del controlador PID a:
Por lo que la función transferencia a lazo abierta resulta ser la siguiente:
Con el mismo desarrollo anteriormente explicado obtenemos los mismos parámetros del PID aplicando el método de oscilación de Z-N. Tomando a זּD = 0.1 y Td = 0.045, la función transferencia a lazo abierto resulta
4.-Asignación de polos
La asignación de polos es un método de diseño de controladores cuando queremos que el desempeño del sistema a lazo cerrado cumpla con determinadas especificaciones de diseño. En esta sección veremos en detalle de que se trata y veremos también como podemos ajustar un controlador PID utilizando asignación de polos.
La asignación de polos es un método de diseño de controladores cuando queremos que el desempeño del sistema a lazo cerrado cumpla con determinadas especificaciones de diseño. En esta sección veremos en detalle de que se trata y veremos también como podemos ajustar un controlador PID utilizando asignación de polos.
Con P(s), L(s), B0(s) y A0(s) polinomios de grados np, nl , n _ 1 y n respectivamente (asumimos que el modelo nominal de la planta es estrictamente propio).Consideremos que el polinomio a lazo cerrado deseado está dado por Alc. La pregunta que surge es: ¿Dado un Alc arbitrario, existiría una función C(s) propia tal que a lazo cerrado resulte que Alc sea el polinomio característico?
Para contestar esta pregunta, veamos primero que pasa con un ejemplo para ilustrar mejor la idea:
Ejemplo 2 (Asignación de polos). Sea el modelo nominal de una planta dada y un controlador de la forma:
Para contestar esta pregunta, veamos primero que pasa con un ejemplo para ilustrar mejor la idea:
Ejemplo 2 (Asignación de polos). Sea el modelo nominal de una planta dada y un controlador de la forma:
Podemos ver que Alc = A0(s)L(s) + B0(s)P(s) = (s2 + 3s + 2)(l1s + l0) + (p1s + p0). Si igualamos los coeficientes obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
Podemos verificar que la matriz anterior es no-singular, por lo que el sistema tendrá solución ´ única: l1 = 1, l0 = 0, p1 = 1 y p0 = 1. Así el polinomio característico es alcanzado para un controlador dado por la siguiente función transferencia:
En el ejemplo anterior vimos como la asignación de polos a lazo cerrado depende de la no-singularidad de una matriz particular. Como la idea es generalizar el resultado anterior, primero necesitaremos algunos resultados matemáticos.
5.- RESUMEN
Desde una perspectiva moderna, un controlador PID es simplemente un controlador de hasta segundo orden, conteniendo un integrador.
Descubrimientos empíricos demuestran que la estructura del PID por lo general tiene la suficiente flexibilidad como para alcanzar excelentes resultados en muchas aplicaciones. El término básico es el término proporcional, P, que genera una actuación de control correctivo proporcional al error.
El término integral, I, genera una corrección proporcional a la integral del error. Esto nos asegura que si aplicamos un esfuerzo de control suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero.
El término derivativo, D, genera una acción de control proporcional al cambio de rango del error. Esto tiende a tener un efecto estabilizante pero por lo general genera actuaciones de control grandes.
5.- RESUMEN
Desde una perspectiva moderna, un controlador PID es simplemente un controlador de hasta segundo orden, conteniendo un integrador.
Descubrimientos empíricos demuestran que la estructura del PID por lo general tiene la suficiente flexibilidad como para alcanzar excelentes resultados en muchas aplicaciones. El término básico es el término proporcional, P, que genera una actuación de control correctivo proporcional al error.
El término integral, I, genera una corrección proporcional a la integral del error. Esto nos asegura que si aplicamos un esfuerzo de control suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero.
El término derivativo, D, genera una acción de control proporcional al cambio de rango del error. Esto tiende a tener un efecto estabilizante pero por lo general genera actuaciones de control grandes.
